Die Integralrechnung ist für zahlreiche Berufe wichtig, da sie in der Praxis Verwendung findet. Durch umfangreiche Fertigkeiten in diesem Bereich stellst du deine mathematische Kompetenz unter Beweis. Für die Unternehmen ist es wichtig, die Personalauswahl durch geeignete Testverfahren zu optimieren. Möchtest du beispielsweise den Beruf des Architekten oder des Informatikers erlernen, dann sind grundlegende Kenntnisse der Integralrechnung wichtig. Ebenso ist es für Physiker, Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler unerlässlich, integrieren und differenzieren zu können. Die Berufe stellen eine praktische Disziplin der Integralrechnung dar und bieten spannende Anwendungsbeispiele. Sogar für eine Offizierslaufbahn bei der Bundeswehr musst du im AC mit Integralen rechnen.
Rechenregeln und Hauptsatz
Die Grundlage für die Integralrechnung ist der Fundamentalsatz der Analysis, der sogenannte “Hauptsatz der Integralrechnung”. Er bringt die Integralrechnung und die Differenzialrechnung in Verbindung zueinander, da er besagt, dass Integrieren und Ableiten jeweils die Umkehrung der anderen Methode darstellen. Für einfache Aufgaben existieren klare Rechenregeln, die du auswendig lernen, in Online-Tests üben und im Einstellungstest anwenden kannst.
Ein Beispiel ist die Summenregel:
Für f`(x) = g`(x) + h´(x) mit g`(x) und h`(x) als integrierbare Funktionen gilt
f(x) = g(x) + h(x)
Die Summenregel hilft, zusammengesetzte Funktionen vereinfacht zu integrieren. Um die einzelnen Funktionen zu integrieren, ist die Potenzregel nützlich:
Aus
f´(x) = a * x hoch n
wird die Stammfunktion f(x) = a/(n+1) * x hoch (n+1)
Nicht immer ist es auf direktem Wege möglich, die Stammfunktion zu bestimmen. Während Produkte dank der Produktregel relativ leicht abgeleitet werden können, ist der Umkehrschluss beim Integrieren nicht möglich. Für viele Aufgaben ist jedoch die Anwendung der partiellen Integration möglich, einer Art “Produktregel rückwärts”. Voraussetzung für die erfolgreiche Anwendung ist, dass ein Produkt vorliegt, bei welchem ein Faktor leicht integriert und der andere Faktor leicht differenziert werden kann und sich im Idealfall durch das Ableiten stark vereinfacht. Im Ergebnis der partiellen Integration steht ein erneutes Integral, welches gelöst werden muss. Oftmals ist das neue Integral leicht zu bestimmen oder es kann mit einem “Trick” gearbeitet werden, beispielsweise dem Betrachten der Integrationsformel als eine Gleichung. Diese und weitere Anwendungsfälle probst du in einem Online-Programm zur Vorbereitung auf den Einstellungstest. Du entscheidest, auf welchem Level du üben möchtest und steigerst nach und nach deine Leistung, bis du fit für den Test bist.
Rechnen mit und ohne Integrationsgrenzen
Die Integralrechnung mit Integrationsgrenzen setzt zwei Fertigkeiten voraus: Zum einen musst du die Stammfunktion bestimmen können, zum anderen setzt du im zweiten Schritt die Integrationsgrenzen ein und berechnest das Ergebnis. Oftmals ist kein Taschenrechner beim Einstellungstest zugelassen, sodass du vorteilhaft rechnen musst, um Zeit zu sparen und Fehler zu vermeiden. Die Form der Aufgaben kannst du perfekt mit einem Online-Programm trainieren, da das Ergebnis in der Regel aus einem Zahlenwert oder einem Term besteht, den du über die Tastatur eingibst. Im Falle eines abweichenden Ergebnisses sieht du dir die Lösungshinweise an und korrigierst deinen Rechenweg.
Fläche und Integralrechnung
Ein weiteres beliebtes Themengebiet für Einstellungstests ist die Flächenberechnung durch Integralrechnung. Im zweidimensionalen, kartesischen Koordinatensystem bestimmt du die Fläche unterhalb der Kurve, indem du das Integral der Funktion bildest. Sofern die Kurve die x-Achse nicht schneidet, setzt du die x-Werte der seitlichen Flächenbegrenzungen als Integrationsgrenzen ein und berechnest den Wert. Sollte die Kurve die x-Achse schneiden, dann sind erst die Nullstellen zu berechnen. Anschließend unterteilst du die Fläche entlang den Senkrechten in den Nullstellen in mehrere Teilflächen und bestimmst die einzelnen Integrale. Ist ein Teilintegral negativ, so liegt die zugehörige Fläche unterhalb der x-Achse, bei einem positiven Vorzeichen liegt die Fläche oberhalb der x-Achse. Die Summe der Beträge der Teilflächen ergibt die gesuchte Gesamtfläche.
Die Fläche zwischen zwei Kurven
Mit Hilfe der Integralrechnung bestimmt du die Fläche zwischen zwei Kurven. Als erstes berechnest du die Schnittpunkte der zugehörigen Funktionen, indem du beide Funktionen gleichsetzt. Bei zwei Schnittpunkten bestimmst du das Intergral der Differenzenfunktion (= Differenz beider Funktionen) unter Berücksichtigung der x-Werte der Schnittpunkte als Integralgrenzen. Im Falle mehrerer Schnittpunkte sind mehrere Integrale, jeweils von “Schnittpunkt zu Schnittpunkt” zu bestimmen. Die Integralrechnung bietet dir zahlreiche Möglichkeiten, verschiedener Aufgabentypen, die wiederum unterschiedliche Schwierigkeits-Level aufweisen.
Beispiele für die Integralrechnung
Beispiel 1: Ein einfaches Flächenintegral
Sei f(x) = x², gesucht ist die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse über dem Intervall [0;1].
Als erstes bestimmst du die Stammfunktion F(x) von f(x). Laut der Potenzregel ergibt sich F(x) zu F(x) = 1/3 x³ + C mit C als einer Konstanten. Da f(x) außer im Ursprung über keine Nullstellen verfügt, setzt du die Intervallgrenzen ein:
F(1) = 1/3
F(0) = 0
Die Differenz F(1) – F(0) = 1/3 ergibt die gesuchte Fläche.
Beispiel 2: Die Anwendung der Summenregel und der Produktregel
Gesucht ist die Stammfunktion von g(x) = 3 * x² + x. Um die Lösung zu bestimmen, integrierst du die beiden Summanden getrennt und addierst das Ergebnis wieder:
G(x) = x³ + 1/2 x² + C
