Seit über 3000 Jahren kennen Menschen den Satz des Pythagoras. Jeder Schüler muss heute diesen Satz im Geometrieunterricht lernen und anwenden. In der Realschule wird der Satz von Pythagoras meist in der 9. Klasse behandelt, im Gymnasium bereits in der 8. Klasse. Hier stellen wir die berühmte Pythagoras-Formel und einige Übungsaufgaben dazu vor.
Satz des Pythagoras
Einer der wichtigsten geometrischen Sätze ist der Satz des Pythogoras. Dieser Satz besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate (a, b) gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates (c) ist:
a² + b² = c²
Umgekehrt lässt sich für jedes Dreieck sagen, dass wenn der Satz a² + b² = c² gilt, dann handelt es sich immer um ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem der rechte Winkel der Seite c gegenüberliegt.
Übungsaufgaben zum Satz des Pythagoras
Die Aufgaben zum Satz des Pythagoras können recht unterschiedlich sein. Die einfachsten beziehen sich auf die Seitenlänge oder die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks. Oben auf dieser Seite haben wir außer diesen noch viele weitere Aufgaben gesammelt.
Aufgabe 1: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Kathete b = 3 cm und die Hypotenuse c = 5 cm. Berechnen Sie den Flächeninhalt. (Lösung: 6 cm – das berühmte Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 – Pythagoreisches Tripel)
Aufgabe 2: Aus einem runden Baumstamm soll ein Balken mit einem maximalen quadratischen Querschnitt (Kantenlänge 14 cm) hergestellt werden. Berechnen Sie den Durchmesser des Baumstammes. (Lösung: 19,8 cm)
Über Pythagoras von Samos und seinen Beweis
Der griechische Philosoph Pythagoras von Samos lebte in der Zeit zwischen 570 v. Chr. und 510 v. Chr. in Griechenland und Süditalien. Den meisten von uns ist er bekannt als der Entdecker des “Satz des Pythagoras”. In Wirklichkeit war der Satz des Pythagoras den Babyloniern lange vor Pythagoras selbst (ca. 1829 bis ca. 1530 v. Chr.) bekannt gewesen. Viele Historiker gehen allerdings davon aus, dass es Pythagoras als ersten gelang, den Beweis für den Satz des Pythagoras zu erbringen. Heute sind für den Satz mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Es ist der meistbewiesene mathematische Satz.
Geometrischer Beweis für den Satz des Pythagoras (Hypotenuse)
Im folgenden Bild wird der Beweis für den Satz des Pythagoras geliefert. Zwei Quadrate mit den Seitenlägen a+b enthalten jeweils vier gleichgroße rechtwinklige Dreiecke. Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge c, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge a und einem mit Seitenlänge b. Die algebraische Lösung für den Satz lautet dann
(a + b)² = 2ab + c²
a² + 2ab + c² = 2ab + c²
a² + b² = c²
Trigonometrischer Pythagoras
Der trigonometrischer Pythagoras (sin² a + cos² a = 1) leitet sich aus dem Satz des Pythogoras ab. Wird der Winkel a im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass a seine Gegenkathete und b seine Ankathete ist, so gilt allgemein
a = sin a · c
b = cos a · c
Eingesetzt in den Satz von Pythagoras ergibt dann
(sin² a ü cos² a ) · c² = c²
sin² a + cos² a = 1
