Aufgaben aus der Geometrie werden in unserem Geometrie Test vorgestellt. Trainieren Sie für die anstehende Schulaufgabe, den Einstellungstest für eine Ausbildung, oder den Eignungstest für ein Studium.
Geometrie Grundlagen 4. Klasse
Bereits in der Grundschule lernen wir die Grundlagen der Geometrie im Mathematikunterricht kennen. In der Geometrie beschäftigen wir uns mit ein-, zwei- oder dreidimensionalen Elementen, Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln, Formen, Körper, Figuren und vielen mehr. Wie in jedem Teilgebiet der Mathematik müssen auch in der Geometrie bestimmte Berechnungen durchgeführt werden. Dafür ist die Kenntnis über Formeln der Geometrie notwendig. Auf dieser Seite stellen wir die aus unserer Sicht wichtigsten Formeln der Geometrie zusammen. Oben auf dieser Seite finden sich viele Übungsaufgaben mit Lösungen, um das Gelernte zu verinnerlichen.
Geometrische Flächenformeln
| Fläche | Umfang | Flächeninhalt | Anmerkungen |
 | u = 4 · a | A = a² | d = a · √2 |
 | u = 2 · (a+b) | A = a · b | d = √(a² + b²) |
 | u = a + b + c | A = (a · b) / 2 | a² + b² = c² (Pytagoras) |
 | u = 2 · r · π | A = r² · π | d = 2 · r |
 | u = a + b + c | A = (a · ha)/2 (genauso hb, hc) | α + β + γ = 180° (Winkelsumme) |
 | u = a + b+ c + d | A = ((a + c) · h) / 2 |
Geometrische Volumenformeln
| Körper | Oberfläche | Volumen | Anmerkungen |
 | O = 6 · a² | V = a³ | d = a · √3 |
 | O = 2 · (ab + ac + bc) | V = a · b · c | d = √(a² + b² + c²) |
 | O = G + M | V = (G · h) / 3 | |
 | O = 2r²π + 2rπh | V = r² · π · h | M = 2rπh |
 | O = r²π + rπs | V = (r² · π · h)/3 | s =√(r² + h²) |
 | O = 4r²π | V = (4 · r³ · π)/3 |
Hier sind dazu passende Übungsaufgaben, wie sie in einem Einstellungstest gestellt werden könnten:
| Aufgabe | Thema | Frage | Antwortmöglichkeiten | Richtige Antwort | Lösungsweg |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Umfang eines Kreises | Ein Kreis hat einen Radius von 7 cm. Wie groß ist der Umfang des Kreises? | A) 44 cm B) 14 cm C) 21 cm D) 44,0 cm |
A) 44 cm | Der Umfang eines Kreises wird mit der Formel U = 2 * π * r berechnet. Also: U = 2 * π * 7 cm ≈ 44 cm. |
| 2 | Flächeninhalt eines Kreises | Ein Kreis hat einen Durchmesser von 10 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt des Kreises? | A) 78,5 cm² B) 31,4 cm² C) 100 cm² D) 314 cm² |
A) 78,5 cm² | Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, also 5 cm. Der Flächeninhalt wird mit A = π * r² berechnet. Also: A = π * 5² cm² ≈ 78,5 cm². |
| 3 | Diagonale eines Quadrats | Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von 6 cm. Wie lang ist die Diagonale? | A) 6 cm B) 8,49 cm C) 12 cm D) 8,94 cm |
D) 8,94 cm | Die Diagonale d eines Quadrats wird mit d = a * √2 berechnet. Also: d = 6 cm * √2 ≈ 8,94 cm. |
| 4 | Volumen eines Zylinders | Ein Zylinder hat einen Radius von 3 cm und eine Höhe von 7 cm. Wie groß ist das Volumen? | A) 63 cm³ B) 198 cm³ C) 189 cm³ D) 94,5 cm³ |
C) 189 cm³ | Das Volumen eines Zylinders wird mit V = π * r² * h berechnet. Also: V = π * 3² * 7 cm³ ≈ 189 cm³. |
| 5 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 10 cm und 5 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 52 cm² B) 50 cm² C) 55 cm² D) 48 cm² |
B) 50 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 10 cm * 5 cm = 50 cm². |
| 6 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 8 cm und 6 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 48 cm² B) 56 cm² C) 52 cm² D) 50 cm² |
A) 48 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 8 cm * 6 cm = 48 cm². |
| 7 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 9 cm und 3 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 28 cm² B) 27 cm² C) 30 cm² D) 25 cm² |
B) 27 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 9 cm * 3 cm = 27 cm². |
| 8 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 7 cm und 4 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 28 cm² B) 30 cm² C) 25 cm² D) 24 cm² |
A) 28 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 7 cm * 4 cm = 28 cm². |
| 9 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 12 cm und 2 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 22 cm² B) 24 cm² C) 26 cm² D) 28 cm² |
B) 24 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 12 cm * 2 cm = 24 cm². |
| 10 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 11 cm und 3 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 33 cm² B) 35 cm² C) 36 cm² D) 32 cm² |
A) 33 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 11 cm * 3 cm = 33 cm². |
| 11 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 5 cm und 6 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 30 cm² B) 32 cm² C) 28 cm² D) 34 cm² |
A) 30 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 5 cm * 6 cm = 30 cm². |
| 12 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 6 cm und 4 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 20 cm² B) 22 cm² C) 24 cm² D) 26 cm² |
C) 24 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 6 cm * 4 cm = 24 cm². |
| 13 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 13 cm und 2 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 26 cm² B) 24 cm² C) 28 cm² D) 25 cm² |
A) 26 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 13 cm * 2 cm = 26 cm². |
| 14 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 7 cm und 7 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 49 cm² B) 47 cm² C) 45 cm² D) 50 cm² |
A) 49 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 7 cm * 7 cm = 49 cm². |
| 15 | Fläche eines Rechtecks | Ein Rechteck hat die Seitenlängen 9 cm und 4 cm. Wie groß ist seine Fläche? | A) 36 cm² B) 35 cm² C) 34 cm² D) 38 cm² |
A) 36 cm² | Die Fläche A eines Rechtecks berechnet sich mit A = a * b. Also: A = 9 cm * 4 cm = 36 cm². |
Geometrie-Grundlagen: Flächen, Umfang, Volumen und mehr – verständlich erklärt
Die Geometrie ist ein zentrales Thema in der Mathematik. Sie hilft uns, den Raum zu verstehen, Objekte zu berechnen und Größenverhältnisse zu erkennen. Dabei geht es nicht nur um das Messen und Rechnen, sondern auch darum, geometrische Zusammenhänge zu verstehen und anzuwenden – im Alltag ebenso wie im Beruf. Mit einem soliden Verständnis der Geometrie lassen sich viele praktische Aufgaben leicht bewältigen, sei es beim Einrichten eines Zimmers, beim Berechnen von Materialmengen oder beim Verständnis technischer Zeichnungen.
Ein besonders wichtiger Bereich der Geometrie ist die Berechnung von Flächeninhalten, Umfängen und Volumen. Hierbei stehen bestimmte Formen im Mittelpunkt, die sogenannte „geometrische Körper“ oder „geometrische Figuren“ genannt werden – zum Beispiel Rechtecke, Quadrate, Kreise oder Zylinder.
Rechteck und Quadrat – die Basisformen
Beginnen wir mit dem Rechteck. Ein Rechteck ist eine geometrische Figur mit vier Ecken und vier Seiten, bei der jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind und alle Winkel 90 Grad betragen. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks lautet:
A = a × b
Dabei steht „a“ für die Länge und „b“ für die Breite. Diese Formel kommt in vielen Aufgaben zum Einsatz, weil Rechtecke im Alltag sehr häufig vorkommen – z. B. als Bodenfläche eines Raums, als Tischplatte oder als Verpackungskarton. Die Aufgaben 5 bis 15 in unserem Test zeigen, wie leicht sich Flächen berechnen lassen, wenn die Seitenlängen bekannt sind. Wichtig ist dabei stets, dass beide Längen in derselben Einheit angegeben sind.
Ein Sonderfall des Rechtecks ist das Quadrat. Es hat ebenfalls vier rechte Winkel, aber alle vier Seiten sind gleich lang. Für den Flächeninhalt gilt also:
A = a × a = a²
Auch die Diagonale eines Quadrats lässt sich berechnen. Die Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Quadrats und teilt es in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich die Formel:
d = a × √2
Das bedeutet: Die Diagonale ist etwa 1,41-mal so lang wie die Seite. In Aufgabe 3 wird genau das abgefragt: Wie lang ist die Diagonale bei einem Quadrat mit 6 cm Seitenlänge?
Kreis – Umfang und Fläche
Ein Kreis ist eine geschlossene, runde Linie, bei der jeder Punkt gleich weit vom Mittelpunkt entfernt ist. Diese Entfernung nennt man Radius (r), der doppelte Radius ist der Durchmesser (d).
Für die Berechnung des Umfangs eines Kreises – also der Länge der Kreislinie – gilt die Formel:
U = 2 × π × r
Dabei steht π (Pi) für eine mathematische Konstante mit dem ungefähren Wert 3,1416. In Aufgabe 1 berechnest du so den Umfang eines Kreises mit Radius 7 cm. Durch Einsetzen in die Formel erhältst du U ≈ 2 × 3,1416 × 7 ≈ 44 cm.
Noch spannender ist die Flächenberechnung eines Kreises. Diese Fläche ist alles, was innerhalb der Kreislinie liegt. Die Formel dafür lautet:
A = π × r²
In Aufgabe 2 ist der Durchmesser des Kreises gegeben – 10 cm – daraus ergibt sich ein Radius von 5 cm. Dann wird mit der obigen Formel gerechnet: π × 5² = π × 25 ≈ 78,5 cm².
Zylinder – eine runde Sache mit Höhe
Der Zylinder ist ein sogenannter geometrischer Körper, weil er nicht nur Fläche, sondern auch Höhe und damit Volumen hat. Er besteht aus zwei gleich großen Kreisflächen (Grund- und Deckfläche) und einer rechteckigen Mantelfläche, die sich zu einem Rohr wölbt. Der Zylinder begegnet uns oft im Alltag – z. B. als Getränkedose, Kerze oder Wasserrohr.
