Die Analysis beschäftigt sich mit reelen Zahlen. Es werden deren Stetigkeit, Grenzwerte, Folgen, Reihen, Differenzierbarkeit und Integration untersucht. Die Analysis wird meist in den höheren Klassen des Gymnasiums, bzw. Abschlussklassen unterrichtet. Auch im technischen oder naturwissenschaftlichen Studium spielt die Analysis eine große Rolle. Auf dieser Seite finden sich zahlreiche Aufgaben zur Analysis.
Analysis 1 Grundlagen
In Analysis 1 werden die vor allem die Themen Zahlen, Konvergenz und Funktionen behandelt. Natürlich gehören auch Logikaufgaben zur Analysis, welche beispielsweise eine Fallunterscheidung beinhalten. Weitere Unterteilungsmöglichkeit der Analysis 1 Vorlesungen:
– Logik und Induktion
– Binomial Koeffizient und Absolutbetrag
– Ir-/Rationalität und Supremum
– Folgen und Konvergenz
– Quantoren, Beschränktheit
– Lim Sup, Grenzwerte
– Reihen, Konvergenz
– Umordnung, Abzählbarkeit
– Potenzreihen
– Stetigkeit
– Differenzierbarkeit
Beispielaufgabe aus der Analysis 1 mit Lösung
Aufgabe: Untersuchen Sie f : R → R, x → |x| auf Stetigkeit.
Lösung: a) Die Betragsfunktion kann geschrieben werden durch
Damit ist sie zumindest für x 6= 0 stetig, da x und −x auf ganz R stetig sind. Betrachte nun die Stetigkeit bei x = 0:
Damit ist f links- und rechtsstetig in 0 und somit stetig in 0.
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Analysis 2 Grundlagen
In der Analysis 2 werden vor allen Dingen höhere Dimensionen betrachtet, die viele bereits aus dem Geometrieunterricht kennen. Dabei geht es in der Analysis aber nicht nur um Ebenen (zwei Dimensionen) und Räume (drei Dimensionen). In Aufgabenstellungen aus der Physik, Ingenieurwissenschaften oder Wirtschaftswissenschaften arbeitet man mit n-dimensionalen reellen Räumen, welche für die Lösung von Problemen von großer Bedeutung sind. Im folgenden wird eine mögliche Unterteilung der Analysis 2 Vorlesungen veranschaulicht:
– Metrische Räume
– Kurven und Vektorfelder: Differentialgleichungen als geometrisches Problem
– Differentialgleichungen erster Ordnung
– Lineare Differentialgleichungen
– Differentialgleichungssysteme erster Ordnung
– Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen
– Differentiation von Abbildungen
Beispielaufgabe aus der Analysis 2 mit Lösung
Aufgabe: Wir betrachten das Gleichungssystem
Bestimmen Sie eine Lösung (x0,y0,z0) des Gleichungssystems. Zeigen Sie, dass sich das System nahe (x0,y0,z0) nach x,y als Funktionen von z auflösen lässt.
Lösung: Offenbar ist (x0,y0,z0) = (0, 0, 0) eine Lösung des Gleichungssystems. Wir setzen
Dann ist f stetig differenzierbar, f(x0,y0,z0) = 0 und
invertierbar. Nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es somit Umgebungen U ⊂ R von z0 = 0 und V ⊂ R² von (x0,y0) = (0, 0) und eine stetig differenzierbare Funktion g : U → V mit f(z,g(z)) = 0 fur alle z ∈ U.
Noch mehr Beispielaufgaben finden sich oben in unserem Test. Einfach auf “Test starten drücken”. Die richtige Lösung wird nach jeder Antwort präsentiert.
Buchempfehlungen zur Analysis 1 und 2
Bei Schülern mit Mathe-LK und Studenten mit Mathematik-Erstsemester ist das folgende Mathematik-Buch besonders beliebt. Es ist von und für Studenten, Tutoren und Übungsleitern geschrieben worden, sodass besonders auf häufige Anfängerfehler der Analysis eingegangen wird.
Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert
Weniger anspruchsvoll und speziell für Personen geschrieben, die sich so garnicht für Mathematik begeistern können ist das folgende Buch:
Analysis für Dummies (Fur Dummies)
