Mit diesen einfachen Übungen lernen Sie die Wahrscheinlichkeitsrechnung im täglichen Leben anzuwenden und die Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Ereignissen zu berechnen.
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung – Definition
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich den Gesetzmäßigkeiten, welche für zufällige Ereignisse gelten. Alle Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich auf die folgenden drei Grundsätze zurückführen:
- Nichtnegativität: Jedem Ereignis A ist eine bestimmte Zahl P(A), also eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet, die ≥ 0 ist.
- Normiertheit: Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1.
- Additivität: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eines von endlich oder abzählbar unendlich vielen unvereinbaren Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse, also P(A ∪ B) = P(A) + P(B) falls A ∩ B = 0
Aus diesen Grundsätzen folgt, dass die Wahrscheindlichkeit für ein beliebiges Ereignis größer gleich 0 (unmögliches Ereignis) und kleiner gleich 1 (sicheres Ereignis) ist. Falls B das Gegenereignis von A ist, dann gilt: ℙ(B) = 1 – ℙ(A)
Symbole der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Mengenrelation)
- ℙ(A) = Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A
- Ω Ergebnismenge, also alle möglichen Ergebnisse vereint ℙ(Ω) = 1
- ∩ Schnittmenge
- ∪ Vereinigungsmenge, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) falls A ∩ B = 0
- ⊂ Teilmenge, A ⊂ B = A ist eine echte Teilmenge von B
- ⊃ Obenmenge A ⊃ B = A ist eine echte Obenmenge von B
- | Bedingte Wahrscheinlichkeit ℙ(A | B) Wahrscheinlichkeit von A, B vorausgesetzt
- V Varianz, siehe Standardabweichung
- d Standardabweichung, siehe Hauptartikel zu Standardabweichung und Varianz
Formeln und Grundregeln
die wichtigsten Grundregeln lassen sich aus den drei obigen Grundsätzen (Nichtnegativität, Normiertheit und Additivität) ableiten. Hier sind die am häufigsten verwendeten Formeln und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammengeschrieben:
- Ω = {1,2,3,4,5,6} (Grundmenge bei: Einmal Würfeln) |Ω| = 6 (Anzahl der Ergebnisse = Mächtigkeit)
- Summenregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) falls A ∩ B = 0
- Gegenereignis: P(E) = 1 – P(Ē)
- Vereinigung: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B̄) = P(A ∩ B̄) / P(A)
Bernoulli-Versuch Formel
Die Bernoulli-Formel wird angewandt, falls es für das Experiment nur zwei Ausgänge gibt, bzw. wenn sich die Anzahl der Ausgänge auf zwei reduzieren lässt (wahr oder falsch). Bei Glücksspiele wie Würfeln, Glückrad oder Roulette wird zur Wahrscheinlichkeitsrechnung gerne die Bernoulli Formel verwendet. Diese lautet:
Klassenstufen und Themen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung Klasse 6
In der 6.Klasse setzen sich die Schüler anhand von Tabellen und Grafiken mit Begriffen wie der absoluten und relativen Häufigkeit auseinander. Außerdem müssen Textaufgaben anhand von Mengen und Teilmengen gelöst werden.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Klasse 7
In der 7. Klasse am Gymnasium befassen sich die Schüler bereits mit den Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie können die Wahrscheinlichkeiten von einfachen Ereignissen (Würfeln, Münzwurf, Kugelzug aus der Urne) berechnen.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Klasse 8
In der achten Klasse setzen sich die Schüler verstärkt mit Größen wie dem Durchscnittswert, dem Median, der Varianz und der Standardabweichung auseinander.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Klasse 9
In der 9. Klasse werden die Textaufgaben deutlich schwieriger, da diese um das Wissen aus der Klasse 8 erweitert werden. Außerdem wird am Gymnasium die Bernuilli Formel das erste mal angewandt.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Klasse 10
Am Gymnasium der 10. Klasse beschäftigen sich die Schüler mit Schnittmengen, Vereinigungsmengen, mit mehrstufigen Zufallsexperimenten und bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Wahrscheinlichkeitsrechnung Oberstufe (11 -12)
In der Oberstufe setzt man sich u.a. mit der Binominalverteilung und den Intervallen im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung auseinander. Außerdem wird die Kombinatorik, das Baumdiagramm und die Vierfeldertafel in Zusammenhang mit den bedingten Ereignissen gebracht.
