Eine Definition von Symmetrie, viele Arten und Beispiele stellen wir euch auf dieser Seite vor. Machen Sie kostenlos unsere Übungen und finden Sie heraus, wie viel Sie über Symmetrie von Figuren und Graphen bereits wissen.
Definition von Symmetrie
In der Geometrie spielt der Begriff Symmetrie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung von eindimensionalen, zweidimensionalen und dreidimensionalen Objekten. Ein Objekt heißt symmetrisch, wenn es durch Bewegungen (z.B. Spiegelung, Drehung oder Verschiebung) auf sich selbst abgebildet werden kann. Bereits in der Grundschule, meist in der 3. Klasse werden symmetrische Figuren betrachtet.
Achsensymmetrie Definition
Die Achsensymmetrie ist eine häufige Form der Symmetrie, die in der Mathematik und der Natur zu finden ist. Die Achsensymmetrie wird auch Spiegelsymmetrie genannt, bei der ein Objekt entlang einer Achse deckungsgleich ist. Es gibt bestimmte Eigenschaften, die jede Achsenspiegelung hat, wie Deckungsgleichheit, Abstandsgleichheit, Winkelgleichheit.
Beispiele für Achsensymmetrie
– Ein Quadrat hat genau vier Symmetrieachsen. Ein Rechteck hat dagegen nur zwei Symmetrieachsen.
– Der Kreis oder eine Gerade haben unendlich viele Symmetrieachsen
– Auch dreidimensionale Objekte wie der Kreis oder ein Zylinder sind achsensymmetrisch
Punktsymmetrie Definition
Die Punktsymmetrie beschreibt die Symmetrie eines Objekts um einen Punkt herum. Die Punktsymmetrie entspricht einer Drehung der Figur um genau 180 Grad. Somit ist die Punktsymmetrie ein Spezialfall der Drehsymmetrie.
Beispiele für Punktsymmetrie
– Bei Vierecken sind Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
– Jeder Kreis ist punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
– Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.
– Mehrere Symmetriezentren kann es nur geben, wenn die Figur nicht beschränkt ist. Das einfachste Beispiel ist die Gerade. Sie hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.
– Ein Dreieck ist niemals punktsymmetrisch. Es können aber zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein.
Asymmetrie und Spezialformen der Symmetrie
Von Asymmetrie spricht man, falls eine Figur keine Symmetrieachse besitzt und auch keinen Symmetriepunkt, also nicht symmetrisch ist. Von Translationssymmetrie spricht man, falls Figuren durch Verschiebung (periodisch) in sich selbst überführt werden können. Diese Figuren müssen unbeschränkt sein, in der praktischen Mathematik ist dies allerdings nicht gegeben. Von bilateraler Symmetrie spricht man meist in der Biologie beim menschlichen Körper, weil die linke und die rechte Körperhälfte achsensymmetrisch sind. Im Gegensatz dazu beschreibt die Radialsymmetrie eine Achsensymmetrie, die von der Mitte ausgeht (Beispiel Seeigel).
Symmetrie von Funktionen berechnen
Bei Funktionen (Kurvendiskussion) kann Achsensymmetrie und Punktsymmetrie anhand von Funktionsformeln nachgewiesen werden.
1. Eine Funktion heißt achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x-Werte die folgende Formel gilt: f(x) = f(-x)
2. Eine Funktion heißt punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x-Werte die folgende Formel gilt: f(-x) = -f(x)
Beispiel: Machen Sie eine Tabelle und setzen Sie für die Formel x² + 2x – 3 verschiedene Werte ein. Sie werden feststellen, dass hier für alle Werte der Satz f(x) = f(-x) gilt, somit ist die Funktion achsensymmetrisch. Dies erkennt man sehr gut, wenn man den Funktionsgraphen zeichnet.
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