Lineare, quadratische und andere Gleichungen lassen sich einfach lösen, indem wir nach dem Schema F vorgehen und die Gleichung Schritt für Schritt nach den Unbekannten auflösen. Hier beschreiben wir anhand von zahlreichen Übungsaufgaben und Tricks, wie sich Gleichungen schriftlich und online anhand eines Rechners, oder mit einem Taschenrechner lösen lassen.
Mathematische Gleichungen – Definition und Grundlagen
Bei einer Gleichung handelt es sich um einen mathematischen Ausdruck auf der linken und einen auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen (=). Der Wert beider Ausdrücke muss identisch sein.
Beispiel: 14x + 15 = 71 (Lösung:4. Das ist die älteste dokumentierte Gleichung im Jahr 1557)
Eine Gleichung kann beliebig viele Werte und Unbekannte enthalten. Eine Gleichung kann eine, mehrere, unendlich viele oder keine Lösung haben. Man spricht hier von einer Lösungsmenge.
Beispiel: 2 · (x – 1) = 1 + 3
Lösen wir nach x auf, so kommen wir relativ schnell auf das Ergebnis x = 3, oder |L = {3}. Setzen wir in x = 3 ein, so ergibt der linke und der Rechte Ausdruck den Wert 4, somit geht die Gleichung auf. Es gibt keine andere Zahl, die wir in x einsetzen könnten, damit die Gleichung aufgehen, somit hat diese Gleichung genau eine Lösung.
Rechenschritte für das Auflösen von Gleichungen
Je nachdem, um welche Gleichung es sich handelt, werden unterschiedliche Rechenschritte für Umformungen verwendet, um eine Gleichung aufzulösen. Im Einzelnen können Zahlen und Variablen eines Ausdrucks auf die “linke oder rechte Seite” gebracht werden. Es können Klammern aufgelöst werden, und es können die Grundrechenarten der Mathematik innerhalt der Ausdrücke angewendet werden. Genauso ist die Anwendung der Kommutativgesetze und Distributivgesetze wichtig.
Beispiel:
4(x – 5) – 2x + 6 = 5(–2x + 2)| Klammern auflösen
4x – 20 – 2x + 6 = –10x + 10| Vereinfachen (Punkt- vor Strichrechnung beachten)
2x – 14 = –10x + 10 | + 14
2x = –10x + 24 | + 10x
12x = 24 | : 12
x = 2
Klammern auflösen – Regeln beachten
Beim Auflösen der Klammer müssen die Rechenzeichen beachtet werden, die vor einer Klammer stehen. Steht dort ein Pluszeichen kann die Klammer einfach entfallen. Bei Minuszeichen müssen alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden. Steht vor der Klammer ein Faktor (Multiplikation), so muss jeder Summand mit dem Faktor multipliziert werden. Dabei gilt die Regel: + · + = +; + · – = –; – · + = –; – · – = +. Beim Ausmultiplizieren zweier Klammern müssen alle Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden.
Quadratische Gleichungen lösen
Von einer quadratischen Gleichung sprechen wir, wenn die Variable x in der zweiten Potenz vorkommt. Eine quadratische Gleichung lässt sich durch Umformungen (siehe Rechenschritte für das Auflösen von Gleichungen) in diese Form bringen:
ax² + bx + c = 0 (a <> 0)
Bei der Umformung von quadratischen Gleichungen kommt es nicht selten vor, dass die binomische Formel angewandt werden muss, um eine quadrierte Klammer aufzulösen. Sobald die Gleichung in die Form ax² + bx + c = 0 gebracht ist, kann die Lösung nach der allgemeinen Formel für quadratische Gleichungen durchgeführt werden (Mitternachtsformel, bzw. abc-Formel), oder bei einer Gleichung in der Normalform (a = 1) anhand der (p-q Formel). Genaueres dazu findet ihr im Wikipedia-Artikel zu quadratischen Gleichungen.
