Terme sind mathematische Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen (also Buchstaben), Rechenzeichen (+, -, *, : bzw. /, Wurzelzeichen, usw.) und Klammern zusammengesetzt sind. So ist bereits 1 + 1 ein einfacher Term, (6xy3 – 5yz + 6x4z)2 * (3x – 5) ist eine etwas kompliziertere Variante. Terme sind grundlegende Werkzeuge, sobald es in der Mathematik um’s tatsächliche Rechnen geht. Kann eindeutig bestimmt werden, welche Rechnung einem Term zugrunde liegt, welche Operation also zuletzt ausgeführt werden muss, hat der Term einen bestimmten Namen. Ist die zugrunde liegende Operation eine Addition, heißt der Term Summe, bei Subtraktion spricht man von einer Differenz, eine Multiplikation kennzeichnet ein Produkt und wenn zuletzt eine Division ausgeführt wird, handelt es sich um einen Quotienten.
Äquivalenzumformungen
Da die ‚Entstehung’ von Termen oft auf verschiedenen Daten und Informationen beruht, kann es durchaus sein, dass sie nach ihrer ersten Bildung noch vereinfacht werden können. Treten Variablen in einem Term auf, und geht es darum, den Wert der Variablen zu bestimmen, ist es ebenfalls meist hilfreich, wenn man den Term umformt. Zulässige Umformungen, die den Wert eines Terms nicht verändern, heißen Äquivalenzumformungen. Die wichtigsten sind:
- das Vertauschen von Summanden in einer Summe (Kommutativgesetz)
- das Vertauschen von Faktoren in einem Produkt (Kommutativgesetz)
- das Zusammenfassen von gleichartigen Summanden
- das Auflösen und Einfügen von Klammern gemäß dem Assoziativgesetz und den Distributivgesetzen
- die Addition von 0 (zur effektiven Anwendung oft in einer hilfreichen Form wie 2x-2x oder 13-13, Stichwort ‚quadratische Ergänzung’)
- die Multiplikation mit 1 (ebenfalls manchmal gerne umgeschrieben in x/y * y/x bzw. ein beliebiger Bruch multipliziert mit seinem Kehrwert).
Und so geht’s – Beispiele
Einfaches Zusammenfassen sieht zum Beispiel so aus:
8x + 4y – 3z + 12 x – 2z = 20x + 4y -5z oder 3x * 4x * (-5) * (-2x) = 12×2 * 10x = 120×3.
Bei Klammern muss man aufpassen! Steht ein Minuszeichen davor, drehen sich alle Vorzeichen der Summanden in der Klammer um:
1 – (3 – 4) – (2 – (-5 + 3)) = 1 – 3 + 4 – (2 + 5 – 3) = 2 – 2 – 5 + 3 = -2.
Nicht immer muss man Klammern auflösen, um einen Term zu vereinfachen, manchmal wird es auch übersichtlicher, wenn man Klammern einführt. Das geschieht z.B. durch Ausklammern, Polynomdivision oder binomische Formeln:
28xy2z + 14xyz2 – 7x3yz – 35xyz = 7xyz * (4y + 2z – x2 – 5),
3×2 – 2x – 4xy + xz – 6x + 4 + 8y – 2z = (3x – 2 – 4y + z) * (x – 2),
9×2 – 24xy + 16y2 = (3x – 4y)2.
Wenn nur zwei Summanden zu einer binomischen Formel ‚passen’ hilft die quadratische Ergänzung:
4×2 – 20x + 3 = 4×2 – 20x + 3 + 0 = 4×2 – 20x + 3 + (25 – 25) = (2x – 5)2 – 22.
Das letzte Beispiel ist vielleicht auf den ersten Blick keine tatsächliche Vereinfachung des Terms, dafür aber sehr nützlich, sollte man die Variable x tatsächlich berechnen wollen.
